ReZero's Utopia.

(转)并查集

字数统计: 3.2k阅读时长: 12 min
2016/10/22 Share

本文由 简悦 SimpRead 转码, 原文地址 http://blog.csdn.net/dellaserss/article/details/7724401

这个文章是几年前水 acm 的时候转的, 当时也不知道作者是谁, 要是有人知道的话说一下吧 并查集是我暑假从高手那里学到的一招,觉得真是太精妙的设计了。以前我无法解决的一类问题竟然可以用如此简单高效的方法搞定。不分享出来真是对不起 party 了。(party:我靠,关我嘛事啊?我跟你很熟么?) 来看一个实例,杭电 1232 畅通工程 首先在地图上给你若干个城镇,这些城镇都可以看作点,然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点,让你判断它们是否连通,或者问你整幅图一共有几个连通分支,也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题,问还需要修几条路,实质就是求有几个连通分支。如果是 1 个连通分支,说明整幅图上的点都连起来了,不用再修路了;如果是 2 个连通分支,则只要再修 1 条路,从两个分支中各选一个点,把它们连起来,那么所有的点都是连起来的了;如果是 3 个连通分支,则只要再修两条路…… 以下面这组数据输入数据来说明 4 2 1 3 4 3 第一行告诉你,一共有 4 个点,2 条路。下面两行告诉你,1、3 之间有条路,4、3 之间有条路。那么整幅图就被分成了 1-3-4 和 2 两部分。只要再加一条路,把 2 和其他任意一个点连起来,畅通工程就实现了,那么这个这组数据的输出结果就是 1。好了,现在编程实现这个功能吧,城镇有几百个,路有不知道多少条,而且可能有回路。 这可如何是好? 我以前也不会呀,自从用了并查集之后,嗨,效果还真好!我们全家都用它! 并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组 pre[] 记录了每个点的前导点是什么,函数 find 是查找,join 是合并。

int pre[1000];

int find(int x)               // 查找根节点
{   
    int r = x;
    while(pre[r] != r)         //返回根节点 r
    r = pre[r];
    int i = x ,j;
    while(i != r)                // 路径压缩 
    {     
        j = pre[i]; // 在改变上级之前用临时变量  j 记录下他的值     
        pre[i] = r ; // 把上级改为根节点
        i = j; 
    }   
    return r;
}

void join(int x,int y)     // 判断 x y 是否连通,
 // 如果已经连通,就不用管了 // 如果不连通,就把它们所在的连通分支合并起,
{
    int fx = find(x),fy = find(y);
    if(fx != fy)
        pre[fx]=fy;
}

为了解释并查集的原理,我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉 “朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢? 我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名 “齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”…… 两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。 但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?” 这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。 下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从 1 或者 0 开始编号(依据题意而定),pre[15]=3 就表示 15 号大侠的上级是 3 号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。 find 这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。

int find(int x)      // 查找我(x)的掌门
{
    int r = x;                   // 委托 r 去找掌门
    while(pre[r] != r)  // 如果 r 的上级不是 r 自己(也就是说找到的大侠他不是掌门 = =)
        r = pre[r];               // r 就接着找他的上级,直到找到掌门为止。
    return r;              // 掌门驾到~~~

}

再来看``看 join 函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个 pre[] 数组,该如何实现呢? 还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若 MM 是我非常喜欢的两个人物,他们的终极 boss 分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。” 他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极 boss 都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。” 玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!” 抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧?

void join(int x, int  y)      // 我想让虚竹和周芷若做朋友
{
    int fx=find(x),fy=find(y);      //虚竹的老大是玄慈,芷若 MM 的老大是灭绝
    if(fx!=fy)                        // 玄慈和灭绝显然不是同一个人_**
    pre[fx]=fy;               // 方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦_**
}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用 join 函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样,我也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终 boss 都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!” 我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。” 两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长…… 仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂也没关系,直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。 hdu1232

#include<iostream>  
using namespace std;


int  pre[1050];

bool t[1050];  //t 用于标记独立块的根结点  

int Find(int x)  
{

    int r = x;

    while(r != pre[r])  
        r = pre[r];

    int i = x,j;

    while(pre[i] != r)  
    {
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
    }  
    return r;
}  

void mix(int x,int y)  
{

    int fx = Find(x), fy = Find(y);

    if(fx != fy)  
    {  
        pre[fy] = fx;
    }  
}   

int main()  
{
    int N, M, a, b, i, j, ans;

    while(scanf("%d %d", &N, &M) && N)  
    {
        for(i = 1; i <= N; ++i)           // 初始化   
            pre[i] = i;
        for(i = 1; i <= M; ++i)           // 吸收并整理数据   
        {
            scanf("%d %d", &a, &b);
            mix(a, b);
        }
        memset(t, 0, sizeof(t));
        for(i = 1; i <= N; ++i)           // 标记根结点  
        {
            t[Find(i)] = 1;      
        }  
        for(ans = 0, i = 1; i <= N; ++i)  
            if(t[i])  
                ans++;
        printf("%d\n", ans-1);
    }  
    return 0;
}//dellaserss  

以下为原文附的代码: 回到开头提出的问题,我的代码如下:

int pre[1000];

int find(int x)
{
    int r = x;

   while(pre[r] != r)
   r = pre[r];

   int i = x; int j;

   while(i != r)
   {
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
   }
   return r;
}

int main()
{

   int n, m, p1, p2, i, total, f1, f2;

   while(scanf("%d", &n) && n)         // 读入 n,如果 n 为 0,结束
   {   
        // 刚开始的时候,有 n 个城镇,一条路都没有 // 那么要修 n-1 条路才能把它们连起来
        total = n-1;  
        // 每个点互相独立,自成一个集合,从 1 编号到 n // 所以每个点的上级都是自己
        for(i = 1;i <= n;i++) 
        { 
            pre[i ]=i;
        }
        // 共有 m 条路
        scanf("%d",&m); while(m--)
        { 
            // 下面这段代码,其实就是 join 函数,只是稍作改动以适应题目要求
            // 每读入一条路,看它的端点 p1,p2 是否已经在一个连通分支里了
            scanf("%d %d", &p1, &p2);
            f1 = find(p1);
            f2 = find(p2);

            // 如果是不连通的,那么把这两个分支连起来
            // 分支的总数就减少了 1,还需建的路也就减了 1
            if(f1 != f2)
            {
                pre[f2] = f1;
                total--;
            }
            // 如果两点已经连通了,那么这条路只是在图上增加了一个环 // 对连通性没有任何影响,无视掉
        }
        // 最后输出还要修的路条数
        printf("%d\n",total);
    }
    return 0;
}
CATALOG